2021考研数学:高等数学每章知识点汇总

  • 来源: 学府考研
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  • 2020-02-07
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摘要:2021考研的同学们现在正处于早前规划阶段,建议数学高数基础不好的小伙伴早点开始复习,早点搞定考研数学高数,考取几率就大大增加。

  第一章:函数与极限

  1.理解函数的概念,掌握函数的表示方法。

  2.会建立简单应用问题中的函数关系式。

  3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

  4.掌握基本初等函数的性质及图形。

  5.理解复合函数及分段函数的有关概念,了解反函数及隐函数的概念。

  6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

  7.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左右极限间的关系。

  8.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。

  9.掌握极限性质及四则运算法则。

  10.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。

  第二章:导数与微分

  1.理解导数与微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描写一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系。

  2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握初等函数的求导公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求初等函数的微分。

  3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

  4.会求分段函数的导数,了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。

  第三章:微分中值定理与导数的应用

  1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。

  2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

  3.了解函数图形的作图步骤。了解方程求近似解的两种方法:二分法、切线法。

  4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

  第四章:不定积分

  1.理解原函数和不定积分的概念,掌握不定积分的基本公式和性质。

  2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分

  3.掌握不定积分的分步积分法。

  4.掌握不定积分的换元积分法。

  第六章:定积分的应用

  1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。

  2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)及函数的平均值。

  第七章:微分方程

  1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

  2.会解奇次微分方程,会用简单变量代换解某些微分方程.

  3.掌握可分离变量的微分方程,会用简单变量代换 解某些微分方程。

  4.掌握二阶常系数齐次微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次微分方程。

  5.掌握一阶线性微分方程的解法,会解伯努利方程.

  6.会用降阶法解下列微分方程

  y''=f(x,y').

  7.会解自由项为多项式,指数函数,正弦函数,余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

  8.会解欧拉方程。

  第八章:空间解析几何与向量代数

  1.理解空间直线坐标系,理解向量的概念及其表示。

  2.掌握向量的数量、积向量积、混合积并能用坐标表达式进行运算,了解两个向量垂直、平行的条件。

  3.掌握向量的线性运算,掌握单位向量、方向角与方向余弦,掌握向量的坐标表达式掌握用坐标表达式进行向量运算方法。

  4.掌握直线方程的求法,会利用平面、直线的相互关系解决有关问题,会求点到直线及点到平面的距离。

  5.掌握平面方程及其求法,会求平面与平面的夹角,并会用平面的相互关系(平行相交垂直)解决有关问题。

  6.理解曲面方程的概念,了解二次曲面方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

  7.了解空间曲线的概念,了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。

  第五章:定积分

  1.理解定积分的概念,掌握定积分的性质及定积分中值定理。

  2.掌握定积分的换元积分法与分步积分法。

  3.了解广义积分的概念,并会计算广义积分,

  4.掌握反常积分的运算。

  5.理解变上限定积分定义的函数,会求它的导数,掌握牛顿莱布尼茨公式。

  第九章:多元函数微分法及其应用

  1.了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。

  2.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。

  3.掌握多元函数偏导数的求法。

  4.理解多元函数偏导数的概念及其性质。

  5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

  6.了解全微分的形式不变性。

  7.掌握多元函数全微分的概,念会求全微分。了解全微分存在的必要条件和充分条件。

  8.会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单应用问题。

  9.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值。

  10.理解方向导数与梯度的概念,掌握其计算方法。

  11.理解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数。

  12.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念。会求它们的方程。

  第十章:重积分

  1.理解二重积分的概念。

  2.了解二重积分的性质,了解二重积分的中值定理。

  3.会计算无界区域上较简单的二重积分。

  4.掌握重积分的计算方法(直角坐标系,极坐标系)

  5.会用重积分求一些几何量与物理量,(平面图形面积,体积,曲面面积,重心,质量,转动惯量,引力,功)

  6.理解三重积分的概念,了解三重积分的性质。

  7.会计算三重积分(直角坐标,柱面坐标,球面坐标)

  8.会用重积分求一些几何量与物理量,(平面图形面积,体积,曲面面积,重心,质量,转动惯量,引力,功)。

  第十一章:曲线积分与曲面积分

  1.理解对坐标的曲线积分的概念,了解其性质,掌握对坐标的曲线积分的求法,了解两类曲线积分的联系。

  2.掌握对坐标的曲面积分的计算方法。

  3.了解对弧长的曲线积分的概念,了解其性质。

  4.掌握对弧长的曲线积分的计算方法。

  5.掌握格林公式,并会运用平面积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数。

  6.了解两类曲面积分的关系。

  7.了解对面积的曲面积分的概念,性质,掌握对面积的曲面积分的计算方法,

  8.掌握对坐标的曲面积分的计算方法。

  9.会用高斯公式计算曲面积分。

  10.会用斯托克斯公式计算曲线积分,了解旋度的概念并会计算。

  11.了解通量与散度的概念,并会计算。

  第十二章:无穷级数

  1.了解函数项级数的收敛域及函数的概念,理解幂函数收敛半径的概念,并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间、及收敛域 的求法。了解幂级数在其收敛区间内基本性质。(和函数的连续性逐项求导和逐项积分)会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些项级数的和。

  2.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件,掌握Ex,sinX, cosX ㏑(1+x)的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

  3.理解博里叶级数的概念,和迪克雷收敛定理,会将定义在【-1,1】上 的函数展开为博里叶级数,会将定义在【0,1】上的函数展开成正弦级数与余弦级数,会写出博里叶级数的和的表达式。

  4.理解常数项级数的收敛、发散、以及收敛级数的和、的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

  5.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。会用根式判别法,掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

  6.掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

 

  7.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系。

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